ACTIVIDAD 10
UNIDAD 03 Ejercicios de Derivada y Pendiente
PUEDES UTILIZAR EL FORMULARIO GENERAL
- FORMULARIO GENERAL (formulario.pdf) -
📘 Metodología de Resolución de Problemas de Optimización
Los problemas de optimización aparecen cuando queremos maximizar o minimizar una cantidad (por ejemplo, el área, el volumen, la ganancia o el costo).
Para resolverlos, usamos el cálculo diferencial, especialmente las derivadas.
🔹 Metodología general
- Comprender el problema: identifica qué cantidad se busca optimizar (por ejemplo, área, volumen, distancia, etc.).
- Modelar la función a optimizar:
- Expresa esa cantidad como una función matemática \( f(x) \).
- Usa las condiciones del problema para dejar solo una variable.
- Determinar los puntos críticos:
- Calcula la derivada \( f'(x) \) y resuelve \( f'(x) = 0 \).
- Analizar si es máximo o mínimo:
- Usa el criterio de la segunda derivada \( f''(x) \).
Si \( f''(x) < 0 \) → máximo, si \( f''(x) > 0 \) → mínimo.
- Interpretar los resultados:
- Traduce el valor encontrado al contexto real del problema.
🔹 Ejemplos prácticos (10 problemas típicos)
| # |
Situación a optimizar |
Función a modelar |
Resultado esperado |
| 1 |
Un rectángulo de perímetro fijo \( P \), hallar el área máxima. |
\( A = x( \frac{P}{2} - x ) \) |
El máximo se da cuando el rectángulo es un cuadrado. |
| 2 |
Una cerca junto a un río con 120 m de valla para tres lados. |
\( A = x(120 - 2x) \) |
Máximo en \( x = 30 \), \( y = 60 \). Área = 1800 m². |
| 3 |
Minimizar el costo de un envase cilíndrico de volumen fijo \( V \). |
\( A = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \) |
Mínimo cuando la altura \( h = 2r \). |
| 4 |
Maximizar el volumen de una caja sin tapa hecha de una lámina cuadrada de 40 cm recortando esquinas. |
\( V = x(40 - 2x)^2 \) |
Máximo en \( x ≈ 6.67 \) cm. |
| 5 |
Minimizar la distancia entre el punto (0,0) y la recta \( y = 3x + 4 \). |
\( D(x) = \sqrt{x^2 + (3x + 4)^2} \) |
Mínimo al proyectar el punto perpendicularmente sobre la recta. |
| 6 |
Maximizar el beneficio \( B(x) = -x^2 + 20x - 50 \). |
\( B'(x) = -2x + 20 = 0 \Rightarrow x = 10 \) |
Máximo beneficio en \( x = 10 \) unidades. |
| 7 |
Minimizar el tiempo que tarda un barco en cruzar un río y luego navegar por tierra. |
\( T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{b - x}{v_2} \) |
El mínimo depende de la relación de velocidades \( v_1, v_2 \). |
| 8 |
Maximizar el área de un triángulo rectángulo con hipotenusa fija \( c \). |
\( A = \frac{1}{2}x\sqrt{c^2 - x^2} \) |
Máximo cuando \( x = \frac{c}{\sqrt{2}} \). |
| 9 |
Minimizar el material de una caja con volumen dado \( V \). |
\( A = 2x^2 + \frac{4V}{x} \) |
Mínimo en \( x = \sqrt[3]{V} \). |
| 10 |
Maximizar la iluminación recibida por una lámpara a cierta distancia. |
\( I(x) = \frac{kx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} \) |
Máximo en \( x = \frac{a}{\sqrt{2}} \). |
🔹 Interpretación de los resultados
Una vez encontrado el valor óptimo, se debe:
- Verificar que tiene sentido físico o práctico (por ejemplo, que las dimensiones sean positivas).
- Expresar la respuesta en unidades del problema (metros, segundos, pesos, etc.).
- Explicar su significado real: ¿qué representa el valor máximo o mínimo en el contexto?
Ejemplo:
En el problema del corral junto al río, el valor \( x = 30 \) representa el ancho que debe tener el corral para usar toda la cerca y obtener el área máxima posible.
📋 En resumen
- Modelar: expresar matemáticamente el fenómeno.
- Derivar: encontrar los puntos críticos.
- Analizar: determinar si es máximo o mínimo.
- Interpretar: dar sentido real al resultado.
Esta metodología permite resolver una gran variedad de problemas reales de optimización en economía, ingeniería, física, biología y más.
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