Ejemplos Intermedios de Derivadas con Varias Variables

Estos ejemplos muestran funciones un poco más complejas, donde aplicamos reglas como el producto o la cadena.

Ejemplo 1

Sea la función:

f(x, y) = x²y + sin(xy)

Calculamos las derivadas parciales:

∂f/∂x = 2xy + y·cos(xy)

∂f/∂y = x² + x·cos(xy)

👉 En este caso, usamos la regla del producto y la del seno (d/dx sin(u) = cos(u)·u').

Sea:

f(x, y) = e^(x² + y²)

Aplicamos la regla de la cadena:

∂f/∂x = e^(x² + y²) · 2x

∂f/∂y = e^(x² + y²) · 2y

👉 La función crece muy rápido en la dirección donde x o y son grandes, por el efecto exponencial.

Sea:

f(x, y) = ln(x² + y²)

Aplicamos la regla de la cadena (derivada de ln(u) = 1/u * u'):

∂f/∂x = (1 / (x² + y²)) · 2x = 2x / (x² + y²)

∂f/∂y = (1 / (x² + y²)) · 2y = 2y / (x² + y²)

👉 La función cambia más cerca del origen, donde el denominador es pequeño.

Sea una función de tres variables:

f(x, y, z) = x·y·z + x²y

Derivamos respecto a cada variable:

∂f/∂x = y·z + 2xy

∂f/∂y = x·z + x²

∂f/∂z = x·y

👉 Aquí se usan reglas del producto en varias variables.

En las funciones con varias variables:

Usamos las mismas reglas de derivación que en una variable (suma, producto, cadena, etc.).
Solo derivamos respecto a una variable a la vez, manteniendo las demás constantes.
El gradiente agrupa todas las derivadas parciales:

∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂z )