Ejemplos Sencillos de Derivadas con Varias Variables

Cuando una función tiene más de una variable, usamos derivadas parciales para ver cómo cambia con respecto a cada variable.

Ejemplo 1

Sea la función:

f(x, y) = x² + y²

Derivamos respecto a cada variable:

∂f/∂x = 2x

∂f/∂y = 2y

👉 Esto significa que la función crece el doble de rápido en la dirección de cada variable.

Ejemplo 2

Sea:

f(x, y) = 3x + 4y

Las derivadas parciales son:

∂f/∂x = 3

∂f/∂y = 4

👉 La pendiente es constante en ambas direcciones; la función es un plano inclinado.

Ejemplo 3

Sea:

f(x, y) = x²y + y³

Derivamos con respecto a cada variable:

∂f/∂x = 2xy

∂f/∂y = x² + 3y²

👉 Aquí cada derivada depende de las dos variables; la forma de la superficie cambia según el punto.

Ejemplo 4

Sea:

f(x, y, z) = x² + y² + z²

Derivamos respecto a cada variable:

∂f/∂x = 2x

∂f/∂y = 2y

∂f/∂z = 2z

👉 Esta función representa una esfera; el gradiente (∇f) apunta siempre hacia afuera del centro.

Resumen

Las derivadas parciales nos dicen cómo cambia la función al modificar una variable y mantener las demás fijas. El gradiente se forma con todas ellas:

∇f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂z )