Sólidos de Revolución

1. Conceptos Fundamentales

Sólido de revolución

Un sólido de revolución es el cuerpo tridimensional que se genera al rotar una región plana alrededor de un eje (generalmente los ejes x o y). Por ejemplo, si una curva \( y = f(x) \) se gira alrededor del eje x, la superficie generada forma un sólido tridimensional.

Área de la sección transversal

La sección transversal es el “corte” perpendicular al eje de revolución. Su área determinará el elemento diferencial que se integra para encontrar el volumen.

Si la sección transversal es un disco de radio \( R(x) \), el área es:

\[ A(x) = \pi [R(x)]^2 \]

Si es una arandela con radio exterior \( R(x) \) e interior \( r(x) \):

\[ A(x) = \pi \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) \]

2. Métodos para obtener el volumen de un sólido de revolución

2.1 Método de los discos

Se usa cuando la región se rota alrededor de un eje y no queda un “hueco” interior. El sólido está formado por “discos” sólidos.

Si se rota \( y = f(x) \) alrededor del eje x:

\[ V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \, dx \]

2.2 Método de las arandelas

Se emplea cuando aparece un hueco interno al rotar la región. La sección transversal tiene forma de arandela.

Si la región está limitada por dos funciones \( R(x) \) (exterior) y \( r(x) \) (interior):

\[ V = \int_{a}^{b} \pi \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx \]

3. Construcción y cálculo de un sólido de revolución con software

Para visualizar y calcular el volumen de un sólido de revolución se puede usar software como GeoGebra, Desmos 3D o WolframAlpha. El proceso general incluye:

• Ingresar la función o región a girar.
• Seleccionar el eje de rotación.
• Activar la herramienta de revolución (por ejemplo, “Revolve around line”).
• Visualizar el sólido generado en 3D.
• Solicitar al software la integral correspondiente o usar la herramienta de cálculo automático.

Por ejemplo, en GeoGebra 3D:

1. Dibujar la curva \( y = f(x) \).
2. Definir la región entre \( a \) y \( b \).
3. Usar “Sólido de revolución” alrededor del eje seleccionado.
4. Ver el volumen calculado directamente o usar Integral[π f(x)^2, x, a, b].

4. Metodología de resolución de un problema de sólido de revolución

1. Bosquejar las funciones

Graficar la función o funciones involucradas. Esto permite identificar correctamente la región a girar y el tipo de método a usar (discos o arandelas).

2. Formular la integral

Determinar el radio (o radios) de la sección transversal según el eje de rotación.

Dependiendo del método:

• Discos: \( V = \int \pi [R(x)]^2 \, dx \)
• Arandelas: \( V = \int \pi([R(x)]^2 - [r(x)]^2)\, dx \)

3. Establecer los intervalos de integración

Los límites \( a \) y \( b \) provienen de:

• Los puntos de intersección de las funciones.
• Los límites explícitos del problema.

Una vez definida la integral:

\[ V = \int_a^b A(x)\, dx \]

se procede a evaluarla para obtener el volumen final.

Ejemplo general

Rotar \( y = f(x) \) de \( x = a \) a \( x = b \) alrededor del eje x:

\[ V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx \]