La Suma de Riemann es una forma de aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos.

Imagina que quieres encontrar el área bajo una función f(x) desde x = a hasta x = b.

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos (rectángulos), cada uno con base:

Δx = (b - a) / n

Para cada subintervalo, calculamos la altura usando la función: f(xᵢ)

Entonces sumamos las áreas de los rectángulos:

S ≈ Σ f(xᵢ) · Δx

Tipos de Sumas de Riemann:

• Izquierda: se usa el valor inicial de cada subintervalo
• Derecha: se usa el valor final de cada subintervalo
• Punto medio: se usa el punto medio de cada subintervalo

Ejemplo:

Queremos aproximar el área bajo f(x) = x² en [0, 2] con n = 2 (2 rectángulos):

• Δx = (2 - 0) / 2 = 1
• Usamos los extremos izquierdos: x₀ = 0, x₁ = 1
• f(0) = 0² = 0, f(1) = 1² = 1
• Área ≈ f(0)·Δx + f(1)·Δx = 0·1 + 1·1 = 1

Suma de Riemann ≈ 1

El valor real de la integral ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.667, así que nuestra aproximación no es perfecta, ¡pero mejora con más rectángulos!