🔹 ¿Qué significa optimizar?

Optimizar significa encontrar el mejor resultado posible de un proceso o situación, es decir:

• Maximizar: conseguir el valor más grande posible (beneficio, rendimiento, área...)
• Minimizar: obtener el valor más pequeño posible (costo, tiempo, distancia...)

En matemáticas, usamos los máximos y mínimos de una función \( f(x) \) para resolver este tipo de problemas.

🔹 Uso de las derivadas

Para encontrar los valores óptimos de \( f(x) \):

1. Calculamos la primera derivada: \( f'(x) \).
2. Buscamos los puntos críticos resolviendo \( f'(x) = 0 \).
3. Usamos la segunda derivada \( f''(x) \) para determinar si el punto es máximo o mínimo:

• Si \( f''(x) < 0 \) → máximo local.
• Si \( f''(x) > 0 \) → mínimo local.

🔹 Ejemplo práctico: área máxima

Un granjero tiene 120 m de cerca para construir un corral rectangular junto a un río, por lo que solo necesita vallar tres lados.

Sea \( x \) el lado perpendicular al río y \( y \) el lado paralelo. El perímetro usado es \( 2x + y = 120 \). Queremos maximizar el área \( A = x \cdot y \).

Sustituyendo \( y = 120 - 2x \):

\( A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2 \)

Derivamos:

\( A'(x) = 120 - 4x \Rightarrow 120 - 4x = 0 \Rightarrow x = 30 \)

Segunda derivada: \( A''(x) = -4 < 0 \Rightarrow \) máximo local.

Entonces: \( x = 30 \), \( y = 60 \), Área máxima \( A = 1800\, m^2 \).

📋 Resumen general