Límite Matemático

En cálculo, el límite describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado. No importa necesariamente el valor que toma la función en ese punto, sino el valor al que se aproxima.

Formalmente, decimos que:

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)

si podemos hacer que los valores de \( f(x) \) estén tan cerca de \( L \) como queramos, tomando valores de \( x \) suficientemente cercanos a \( a \), pero sin necesidad de que \( x = a \).

Interpretación Intuitiva

• \( x \to a \): \( x \) se acerca a \( a \)
• \( f(x) \): valores de la función
• \( L \): valor al que se aproxima la función

Los límites son la base del concepto de continuidad, derivadas e integrales.

Ejemplos Resueltos (Nivel Intermedio)

Ejemplo 1

\[ \lim_{x \to 2} (3x + 1) \]

Solución:

La función es continua, así que sustituimos directamente:

\[ 3(2) + 1 = 7 \]

Resultado: \[ \boxed{7} \]

Ejemplo 2

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

Solución:

Sustituir directamente da \( \frac{0}{0} \), una indeterminación. Factorizamos:

\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \]

Simplificamos:

\[ \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]

Ejemplo 3

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]

Solución:

Este es un límite notable:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Ejemplo 4

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \]

Solución:

Sabemos que:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \]

Ejemplo 5

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 5x} \]

Solución:

Dividimos todo entre \( x^2 \):

\[ \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{5}{x}} \]

Cuando \( x \to \infty \), los términos con \( x \) en el denominador van a 0:

\[ \frac{2}{1} = 2 \]

Ejemplo 6

\[ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1} \]

Solución:

Factorizamos:

\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \]

Simplificamos:

\[ \lim_{x \to -1} (x - 1) = -2 \]

Ejemplo 7

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]

Solución:

Límite notable:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]

Ejemplo 8

\[ \lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \]

Solución:

La función es continua:

\[ \sqrt{3 + 1} = 2 \]

Ejemplo 9

\[ \lim_{x \to 0^+} \ln x \]

Solución:

Cuando \( x \) se acerca a 0 por la derecha:

\[ \ln x \to -\infty \]

Ejemplo 10

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 1}{2x + 4} \]

Solución:

Dividimos entre \( x \):

\[ \frac{5 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{4}{x}} \]

Cuando \( x \to \infty \):

\[ \frac{5}{2} \]

Conclusión

Los límites permiten estudiar el comportamiento de funciones en puntos críticos y al infinito, y son una herramienta fundamental para todo el cálculo diferencial e integral.