Ejemplos Intermedios de Derivadas

A continuación se muestran derivadas que aplican reglas combinadas: producto, cociente y cadena.

Ejemplo 1: f(x) = x² · ln(x)

Regla del producto:
f'(x) = u'·v + u·v'
Donde: u = x², v = ln(x)
Derivadas:
u' = 2x, v' = 1/x
Sustitución:
f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x
Resultado final: f'(x) = 2x·ln(x) + x

Ejemplo 2: f(x) = (x² + 1) / sin(x)

Regla del cociente:
f'(x) = (u'·v - u·v') / v²
u = x² + 1, v = sin(x)
Derivadas:
u' = 2x, v' = cos(x)
Sustitución:
f'(x) = (2x·sin(x) - (x² + 1)·cos(x)) / sin²(x)
Resultado final: f'(x) = [2x·sin(x) - (x² + 1)·cos(x)] / sin²(x)

Ejemplo 3: f(x) = (3x + 2)³

Regla de la cadena:
d/dx[u³] = 3u² · u'
u = 3x + 2 → u' = 3
Sustitución:
f'(x) = 3(3x + 2)² · 3 = 9(3x + 2)²
Resultado final: f'(x) = 9(3x + 2)²

Ejemplo 4: f(x) = e^(2x) · cos(x)

Regla del producto:
u = e^(2x) → u' = 2e^(2x)
v = cos(x) → v' = -sin(x)
Sustitución:
f'(x) = 2e^(2x)·cos(x) + e^(2x)·(-sin(x))
Factor común:
f'(x) = e^(2x)[2cos(x) - sin(x)]

La letra e representa la constante matemática conocida como el número de Euler, que es aproximadamente igual a:

e≈2.71828

Resultado final: f'(x) = e^(2x)[2cos(x) - sin(x)]

Ejemplo 5: f(x) = ln(sin(x))

Regla de la cadena:
Derivada de ln(u) es 1/u · u'
u = sin(x), u' = cos(x)
Sustitución:
f'(x) = (1 / sin(x)) · cos(x) = cot(x)
Resultado final: f'(x) = cot(x)