🔹 1. Criterio de la Primera Derivada

La primera derivada \( f'(x) \) indica si la función crece o decrece:

• Si \( f'(x) > 0 \) → la función crece.
• Si \( f'(x) < 0 \) → la función decrece.

Para encontrar extremos:

1. Calcula \( f'(x) \).
2. Iguala a cero: \( f'(x) = 0 \). Estos son los puntos críticos.
3. Analiza el signo de \( f'(x) \) antes y después del punto.

Interpretación:

• Si \( f'(x) \) cambia de positivo a negativo → máximo local.
• Si \( f'(x) \) cambia de negativo a positivo → mínimo local.

Ejemplo:

\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

\( f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Antes de 2: \( f'(1) = -2 \) (negativo). Después de 2: \( f'(3) = 2 \) (positivo).

⇒ Cambia de negativo a positivo → mínimo en \( x = 2 \).

🔹 2. Criterio de la Segunda Derivada

La segunda derivada \( f''(x) \) nos dice la curvatura de la función:

• Si \( f''(x) > 0 \): la función es cóncava hacia arriba (forma de “U”) → mínimo.
• Si \( f''(x) < 0 \): la función es cóncava hacia abajo (forma de “∩”) → máximo.

Pasos:

1. Calcula \( f'(x) \) y busca los puntos donde \( f'(x) = 0 \).
2. Calcula \( f''(x) \).
3. Evalúa \( f''(x) \) en los puntos críticos.

Ejemplo:

\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)

\( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \Rightarrow x = 0, 2 \)

\( f''(x) = 6x - 6 \)

• \( f''(0) = -6 < 0 \) → máximo local
• \( f''(2) = 6 > 0 \) → mínimo local

🔹 3. Puntos de Inflexión

Los puntos de inflexión son aquellos donde la concavidad cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa.

Criterio:

• Ocurren donde \( f''(x) = 0 \) y además \( f''(x) \) cambia de signo.

Ejemplo:

\( f(x) = x^3 \)

\( f''(x) = 6x \Rightarrow f''(0) = 0 \)

Antes de 0: \( f''(x) < 0 \), después: \( f''(x) > 0 \).

⇒ Punto de inflexión en \( x = 0 \).

📋 Resumen General